Bilangan Pangkat

1.       Bilangan Pangkat

Diambil sembarang bilangan, misalkan 2, kemudian dikalikan sebanyak 5 kali, jadi 2 x 2 x 2 x 2 x 2. Penulisan seperti ini terlalu panjang dan kurang praktis. Jadi cukup menuliskannya sebagai bilangan berpangkat yaitu 2⁵.

Keterangan: ap = bilangan berpangkat a  = bilangan pokok p  = pangkat

Bilangan berpangkat adalah perkalian berulang dari bilangan  tersebut.

a x a x a x a x... x a = a ^p

Semula tampaknya bilangan berpangkat harus merupakan bilangan asli, namun dalam perkembangan selanjutnya dikenalkan bilangan berpangkat 0, bilangan berpangkat negatif, dan bilangan berpangkat rasional. Bilangan yang dipangkatkan juga berkembang bukan hanya bilangan cacah, tetapi bilangan bulat, bilangan rasional, dan bilangan real.

               Sifat-sifat bilangan berpangkat:

1.      Perkalian dua bilangan berpangkat

a ^p . a ^q = a ^p+q

2.      Pembagian dua bilangan berpangkat

a ^p . a ^q = a ^p-q

3.      Perpangkatan dua bilangan berpangkat

(a ^p)^q = a ^pq

4.      Perpangkatan bilangan rasional

(a/b)^p=a^p/b^p

5.      Perpangkatan dua perkalian bilangan

(a . b )^p = a^p.b^p

6.     

a0 = 1

Bilangan berpangkat 0

 

Bukti :

Sesuai dengan sifat pangkat nomor 1 yaitu a^p.a^q = a^p+q

untuk q = 0  diperoleh a^p.a⁰ = a^p.

Tampak bahwa a^o berlaku seperti bilangan 1

sehingga didefinisikan  a⁰ = 1 untuk a ¹ 1.

7.      Pangkat bulat negative

a^-p=1/a^p

Bukti:

Sesuai dengan sifat pangkat nomor 1 yaitu a^p.a^q = a^p+q

untuk q = -p diperoleh a^p.a^-p = a^p+(-p) = a⁰ = 1.

Karena hasilkali a^p.a^-p = 1 maka a^p dan a^-p berkebalikan.

 Sehingga a^-p = 1/a^p

2.       Persamaan Bilangan Pangkat

Bentuk Umum :

a ^f(x) = a ^g(x) ⇔ f(x) = g(x)

Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari sederhana membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.

Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu :

• Elemen lingkaran yang berupa titik, yaitu :
1. Titik pusat (P)
   merupakan titik tengah lingkaran, dimana jarak titik tersebut dengan titik manapun pada lingkaran selalu tetap.

• Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :
1. Jari-jari (R)
   merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.
2. Tali busur (TB)
   merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda.
3. Busur (B)
   merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran.
4. Keliling lingkaran (K)
   merupakan busur terpanjang pada lingkaran.
5. Diameter (D)
   merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas.
6. Apotema
   merupakan garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.

• Elemen lingkaran yang berupa luasan, yaitu :
1. Juring (J)
   merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya.
2. Tembereng (T)
   merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya.
3. Cakram (C)
   merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.
 

·         Persamaan

Suatu lingkaran memiliki persamaan

( x – x ₀ ) ² + ( y – y ₀ ) ² = R ²

dengan R adalah jari-jari lingkaran dan (x_0, y₀ ) adalah koordinat pusat lingkaran.

·         Persamaan parametrik

Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu

x = x₀ + Rcos(t)                        y = y₀ + Rsin(t)

yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y.

·         Luas lingkaran

Luas lingkaran memiliki rumus :

A = π R²

yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran

d A =  rdθ dr

·         Luas juring

Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan θ, yaitu;           A (R,θ) = ½ R² θ

dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 3π. Saat θ bernilai 2π, juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.

·         Luas cincin lingkaran

Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam R₁ dan jari-jari luar , R₂ yaitu

A_{potongan cincin} =  π/2 ( R  ₂²  - R²₁ )

dimana untuk R₁ = 0 rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.

·         Luas potongan cincin lingkaran

Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh

A_{potongan cincin} =  π/2 ( R  ₂²  - R²₁ ) θ  yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.

·         Keliling lingkaran

Keliling lingkaran memiliki rumus: L = 2πR

·         Panjang busur lingkaran

Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus:L = R θ

·         Pi atau π

Nilai phi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling K dengan diameternya D

  π = K/D

Simbol Phi, π. π adalah sebuah konstanta dalam matematika yang merupakan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. Huruf π adalah aksara yunani yang dibaca phi dan phi juga bisa dipakai dalam penulisan.

 

 
 

Logika

1.       Teori Korespondensi

Teori Korespondensi (The correspondence theory of truth) menunjukkan bahwa suatu kalimat akan bernilai benar jika hal hal yang terkandung di dalam pernyataan tersebut sesuai atau cocok dengan keadaan yang sesungguhnya. Teori teori atau pernyataan-pernyataan Ilmu Pengetahuan Alam akan dinilai benar jika pernyataan itu melaporkan, mendeskripsikan, ataupun menyimpulkan kenyataan atau fakta yang sebenarnya.

2.       Teori Koherensi

Teori koherensi menyatakan bahwa suatu kalimat akan bernilai benar jika pernyataan yang terkandung di dalam kalimat itu bersifat koheren, konsisten atau tidak bertentangan dengan pernyataan-pernyataan sebelumnya yang dianggap benar.

Ada enam aksioma yang terkait dengan bilangan real a, b dan c terhadap operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.) berlaku sifat:

1.      Tertutup, a + b Є R dan a . b Є R

2.      Assosiatif, a +( b + c) = (a + b) + c dan a .( b . c) = (a . b) . c

3.      Komulatif, a + b = b + a dan a . b = b . a

4.      Distributif, a .( b + c) =  a . b + a . c dan (b + c) . a= b . a + c . a

5.      Identitas, a + 0 = 0 + a = a dan a . 1 = 1 . a = a

6.      Invers, a + (-a )= (-a) + a dan  a . 1/a - 1/a . a = 1

Disjungsi, konjungsi, implikasi, biimplikasi dan negasi

1.    Negasi

Negasi adalah benar jika proposisinya salah; jika tidak, hasilnya adalah salah.

2.    Konjungsi

Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan perakit “dan“

3.    Disjungsi

Disjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan perakit “atau“

4.    Implikasi

Misalkan ada dua pernyataan p dan q. Menunjukkan atau membuktikan bahwa jika nilai p benar akan mengakibatkan q bernilai benar. Maka diletakkanlah kata “jika” sebelum pernyataan pertama diletakkan juga kata “maka” diantara pernyataan pertama dan pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan implikasi.

5.    Biimplikasi

Biimplikasi atau bikonditional adalah pernyataan dua majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinotasikan dengan p ⇔ q yang bernilai samadengan (p ⇒q)  ⋀ (q⇒p)

Peluang Matematika

1.      Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.   

2.      Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian P(A) = k/n

 maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus :

Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3

P(A)=n(A)/n(S)=3/6=1/2

3.      Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n (A)

0≤k≤n⇔0≤k/n≤1 maka 0≤P (A)≤1
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.

4.      Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).