Ciri-ciri Himpunan

1. Pengertian Himpunan

            Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan.

            Perhatikan objek yang berada di sekeliling kita, misal ada sekelompok mahasiswa yang sedang belajar di kelas A, setumpuk buku yang berada di atas meja belajar, sehimpunan kursi di dalam kelas A, sekawanan itik berbaris menuju sawah, sederetan mobil yang antri karena macet dan sebagainya, semuanya merupakan contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari.

2. Cara Menyatakan Himpunan dan Keanggotaanya

            Seperti telah disebutkan di atas himpunan diberi nama atau dinyatakan dengan huruf kapital. Sedangkan anggotanya dinyatakan dengan huruf kecil. Anggota himpunan ditulis di antara kurung  kurawal, anggota satu dengan yang lainya dipisahkan dengan tanda koma. Dengan kata lain dituliskan dengan cara pendaftaran (roster method).

   Selain itu himpunan dapat pula dinyatakan dengan sifat keanggotaan (ruler method).

A.           Dengan Cara Pendaftaran (Roster Method)

                           Cara menyatakan himpunan dengan menuliskan semua anggotanya selain   disebut pendaftaran juga disebut cara tabulasi.

                           Objek yang tidak didaftar berarti objek bukan anggota himpunan tersebut. Apabila anggota himpunan tersebut tidak banyak, semua anggotanya dapat ditulis. Namun, bila himpunan itu mempunyai anggota yang banyak dan anggotanya memiliki keteraturan, untuk menuliskanya dapat diwakili dengan tiga titik”...”.

1)     Himpunan A, B, dan C adalah himpunan yang anggotanya banyak, dan penulisanya          dua kali tiga titik “…”.

2)      Himpunan D dan E anggotanya dapat ditulis semua karena anggotanya sedikit.

3. Dengan Sifat keanggotaan (Ruler Method)

            Cara menyatakan himpunan dengan menuliskan sifat keanggotaanya, cara ini juga disebut pencirian. Cara ini dengan menuliskan syarat yang harus dipenuhi oleh anggota himpunan itu. Objek atau elemen yang memenuhi syarat himpunan itu adalah anggotanya.

                        Dalam penulisan cara ini anggota himpunan menggunakan variabel, misalnya          x dan syarat keanggotanya misalnya P(x). P(x) berarti himpunan tersebut bersifat P.         Himpunan tersebut ditulis A= ;”” garis tegak dibaca ”sedemikian    sehingga”. Cara membaca himpunan tersebut adalah A himpunan semua x sedekian    sehingga x mempunyai sifat P. A = selain disebut cara menyatakan             himpunan dengan sifat keanggotaan juga disebut notasi pembentuk himpunan.

4.             Keanggotaan Suatu Himpunan

            Dalam matematika lambang anggota adalah ” ”, sedangkan bukan anggota dilambangkan dengan ””. Anggota himpunan A =   adalah a, i, u, e, o dan b, c, d bukan anggota A. Dengan demikian penulisan di atas dapat dinyatakan dengan a  A, e  A, i  A, o  A, u  A.Tetapi b  A, c  A, dan d  A.

   Himpunan B = .Jadi 2  B, 5  B, 7  B. Tetapi 1        B, 9  B. Dan bila anda menemukan statu himpunan P =  berarti a  P       dan  P.   anggota P yang berbentuk himpunan.

5.             Banyaknya Anggota Statu Himpunan

               Banyaknya anggota suatu himpunan dinamakan juga bilangan kardinal dan            diberi lambang “n”. Jika A adalah suatu himpunan, maka banyaknya anggota dari   himpunan A ditulis n(A).

            Macam-macam Himpunan

5.1  Himpunan Kosong

            Himpunan A dikatakan himpunan kosong bila bilangan kardinal dari himpunan A = 0 atau n(A) = 0. Himpunan kosong dinotasikan dengan  (phi) atau . Jadi apabila A = , maka A =  atau A =  dan n(A) = 0.

5.2  Himpunan Semesta

            Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan U (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan. Biasanya hinpunan semesta ditetapkan sebelum kita membicarakan suatu himpunan dengan demikian seluruh himpunan lain dalam pembicaraan tersebut merupakan bagian dari himpunan pembicaraan.

6.             Himpunan Berhingga

               Himpunan A berhingga apabila A memiliki anggota himpunan tertentu atau n(A) = a, a  bilangan cacah. Dengan perkataan lain, himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah.

7.             Himpunan Tak Berhingga

               Himpunan A disebut himpunan tak berhingga apabila tidak memenuhi syarat himpunan berhingga. Himpunan A apabila anggota-anggotanya sedang dihitung, maka proses perhitunganya tidak akan berakhir. Dengan perkataan lain himpunan A, n banyak anggotanya tidak dapat ditentukan/ditulis dengan bilangan cacah.

8.             Himpunan Terbilang

               Himpunan A dikatakan himpunan terbilang bila anggota himpunan A tersebut dapat ditunjukkan atau dihitung satu persatu.

Contoh 8:

a.       A =

            Himpunan A di atas merupakan contoh himpunan terbilang sebab dapat dihitung satu        persatu, sekaligus contoh himpunan terhingga sebab n(A) = 3.

b.      B =

            Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan             contoh himpunan tak hingga sebab n(B) = ~.

9.             Himpunan Tak Terbilang

               Himpunan A dikatakan tak terbilang bila anggota himpunan A tersebut tidak dapat dihitung satu persatu.

10.         Himpunan Terbatas

               Himpunan A dikatakan himpunan terbatas bila himpunan A mempunyai batas di sebelah kiri saja disebut himpunan terbatas kiri. Dan jika himpunan tersebut hanya mempunyai batas sebelah kanan disebut himpunan terbatas kanan. Batas sebelah kiri juga disebut batas bawah sedangkan batas sebelah kanan disebut batas atas.

11.         Himpunan Tak Terbatas

               Himpunan A dikatakan himpunan tak terbatas bila himpunan tersebut tidak memiliki batas.

12.         Relasi Antar-Himpunan

Diagram Venn

               Istilah diagram Venn berasal dari seorang ahli bangsa Inggris yang menjadi tokoh logika matematika, yaitu John Venn (1834-1923). Ia menulis buku simbolik logic dalam analisisnya menggunakan banyak diagram khususnya diagram lingkaran, diagram tersebut kini dikenal nama diagram Venn.

               Biasanya himpunan semesta digambarkan sebagai daerah persegi panjang dan suatu himpunan bagian dari himpunan semesta ditunjukkan dengan daerah kurva tertutup sederhana. Anggota-anggota suatu himpunan ditunjukkan dengan noktah-noktah sedangkan anggotanya cukup banyak maka noktah sebagai wakil-wakil anggota himpunan tidak perlu ditulis.

Macam-macam Bilangan Real

1.      Bilangan Asli (A)

Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mula-mula dipakai untuk membilang. Bilangan asli dimulai dari 1,2,3,4,...

A = {1,2,3,4,...}

2.      Bilangan Genap (G)

 Bilangan genap dirumuskan dengan 2n, n∈A

 G = {2,4,6,8,...}

3.       Bilangan Ganjil (Gj)

 Bilangan ganjil dirumuskan dengan 2n -1, n∈A

 Gj = {1,3,5,7,...}

4.      Bilangan Prima (P)

Bilangan     prima   adalah   suatu   bilanganyang      dimulai  dari  2   dan  hanya dapat dibagi oleh bilngan itu sendiri dan P = {2,3,5,7,...}

5.      Bilangan Komposit (Km)

Bilangan   komposit   adalah   suatu   bilangan   yang   dapat dibagi   oleh   bilangan yang lain

Km = {4,6,8,9,...}

6.      Bilangan Cacah (C)

6.Bilangan Cacah adalah suatu bilangan yang dimulai dari nol

C = {0,1,2,3,4,...}

7.      Bilangan Bulat (B)

Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan  bilangan bulat positif.

B = {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}

8.      Bilangan Pecahan (Pc)

8.Bilangan   pecahan   adalah   suatu   bilangan   yang   dapat   dinyatakan dalam   bentuk   a/b, a   sebagai   pembilang   dan   b   sebagai   penyebut, dengan a dan b∈ B serta b ≠0

9.      Bilangan Rasional (Q)

Bilangan   rasional   adalah   suatu   bilangan   yang   dapat  dinyatakan dalam bentuk a/b, a        dan b ∈ B serta b ≠0. (Gabungan bilangan bulat dengan himpunan bilangan pecahan)

10.  Bilangan Irasional (I)

10.Bilangan  irasional adalah suatu  bilangan yang  tidak dapat a/b, a dan b ∈ B sertab ≠0

11.  Bilangan Real (R)

Bilangan     real  adalah    suatu   bilangan    yang   terdiri  dari  bilangan rasional     dan bilangan   irasional.   Bilangan   real   biasanya   disajikan dengan sebuah garis bilangan.

12.  Bilangan Khayal (Kh)

Bilangan khayal adalah suatu bilangan   yang    hanya     bisa dikhayalkan dalam pikiran, tetapi kenyataannya tidak ada.

Contoh:     −1,   −2,   − 3

13.  Bilangan Kompleks (K)

Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangandan khayal.